力学与工程交叉研究院在裂纹尖端弹性场的威廉姆斯级数解方面取得进展

弹性断裂力学的核心概念由裂纹尖端的威廉姆斯级数解（Williams solution）刻画：级数解的第一项表征了裂纹尖端的应力奇异性，催生了应力强度因子K的概念，其临界值定义了断裂韧性K_c这一材料常数。第二项表征了裂纹尖端的常应力项，它对裂纹尖端塑性区的大小以及裂纹的扩展方向具有直接影响，对疲劳裂纹的萌生与扩展具有重要意义。之后的高阶项表征了应力随裂纹尖端距离的变化规律，和第二项结合后，量化了K-场影响区的有效半径（传统断裂分析仅采用第一项表征应力场的裂纹尖端有效区域）。对于一般的偏折或分叉裂纹，威廉姆斯级数解的第二项甚至更高项的求解一直是个难题，没有通用的方案，更遑论显示表达。

力学与工程交叉研究院研究团队通过求解一般裂纹的穆斯赫利什维利‌复势函数（Muskhelishvili complex potentials），进一步构建了从弹性场复势函数到威廉姆斯级数的一般求解方法，给出了威廉姆斯级数解的完整表达式（见公式一中直裂纹的显示表达）。这一裂纹尖端威廉姆斯级数解的完整表达不仅填补了教科书的空白，其中的第二项，也即常应力项或T-应力项，为多场耦合问题、裂纹尖端塑性区的大小、以及裂纹扩展路径的分析提供了坚实的理论基础。

   通过将该理论成果应用于铁木辛科奖获得者Bažant院士团队所发展的GAP-实验（该方法通过边界载荷调整，可一定程度调控裂纹尖端的T-应力，进而实现调制材料抵抗裂纹扩展能力的途径），给出了这一方法调控T-应力的有效范围，以及对应的最优调控实验方案（见图片一中T-应力随实验参数设置的变化规律）。

      以上成果由清华大学力学系、力学与工程交叉研究院魏宇杰、高华健教授和北京大学工学院联合培养博士生王博男参与完成，以“From Muskhelishvili Potentials to Williams Crack-Tip Expansion”为题发表在Journal of the Mechanics and Physics of Solids上。研究工作得到了国家自然科学基金委卓越研究群体“非线性力学的多尺度问题研究”延续项目（No.12588201）的支持。论文链接：https://doi.org/10.1016/j.jmps.2026.106689

公式一：无限平面水平直裂纹受双向应力（σ_0x和σ_0y）时裂纹尖端威廉姆斯级数解完整表达式。

图片一：理论成果应用于铁木辛科奖获得者Bažant院士团队所发展的GAP-实验。（a）GAP-实验的设计示意图，（b）与GAP-实验对应的理论分析等效边界，（c）该论文工作分析获得的GAP-实验所能实现的裂纹尖端T-应力调制，图中展示的是无量纲化T-应力（T_p^*=T/σ_p ）随着实验参数（l/a）的变化，这里代表裂纹尖端的实际T-应力值。